Produit scalaire et norme

Propriété

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan et \(\text A,\text B,\text C\) trois points tels que \(\vec{u}=\vec{\text A\text B}\) et   \(\vec{v}=\vec{\text A\text C}\) . On a :

• \(\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)\)
  
• \(\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text A\text C}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text C}\lVert^2-\lVert\vec{\text A\text B}\lVert^2-\lVert\vec{\text A\text C}\lVert^2)\)
  

Démonstration

Si \(\vec{u}=\vec{0}\) , le produit scalaire est nul et  \(\frac{1}{2}(\lVert\vec{0}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{0}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)=0\) , l'égalité est donc vraie.
Si \(\vec{u} \ne \vec{0}\) , on munit le plan d'un repère orthonormé  \((\text A;\text I;\text J)\) avec \(\vec{\text A\text I}=\frac{1}{\lVert\vec{u}\lVert}\vec{u}\) (vecteur de norme unitaire colinéaire à  \(\vec{u}\) ).
Soit  \(\theta\) une mesure de l'angle \((\vec{\text A\text B};\vec{\text A\text C})=(\vec{u};\vec{v})\) . Dans le repère   \((\text A;\text I;\text J)\) , les coordonnées de   \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont \(\vec u \begin{pmatrix} \lVert\vec{u}\lVert \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(\vec v \begin{pmatrix} \lVert\vec{v}\lVert \cos\theta \\ \lVert\vec{v}\lVert \sin\theta \end{pmatrix}\) . On en déduit \(\vec{u}+\vec{v} \begin{pmatrix} \lVert\vec{u}\lVert+\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta \\ \lVert\vec{v}\lVert \sin\theta \end{pmatrix}\) .
Ainsi, \(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=(\lVert\vec{u}\lVert+\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta)^2+(\lVert\vec{v}\lVert \sin\theta)^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\lVert\vec{u}\lVert \times\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2\cos^2\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2\sin^2\theta\)
\(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\lVert\vec{u}\lVert \times\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\lVert\vec{u}\lVert \times\lVert\vec{v}\lVert \cos\theta+\lVert\vec{v}\lVert^2\)
\(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2=\lVert\vec{u}\lVert^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\lVert\vec{v}\lVert^2\) d'où 
\(\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(\lVert\vec{u}+\vec{v}\lVert^2-\lVert\vec{u}\lVert^2-\lVert\vec{v}\lVert^2)\) .

Exemple

La figure suivante montre un parallélogramme \(\text A\text B\text C\text D\) avec \(\text A\text B=4, \text B\text C=3\) et \(\text A\text C=6\) .

Déterminons le produit scalaire \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}\) à l'aide de la propriété précédente.
\(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}=\frac{1}{2}(\lVert \vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text D}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text B}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text D}\lVert^2)\) . Comme \(\vec{\text A\text B}+\vec{\text A\text D}=\vec{\text A\text C}\) , on en déduit  \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}=\frac{1}{2}(\lVert \vec{\text A\text C}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text B}\lVert^2-\lVert \vec{\text A\text D}\lVert^2)\) soit  \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text A\text D}=\dfrac{1}{2}(6^2-4^2-3^2) = \dfrac{11}{2}\) .